即使埃斯库罗斯（古希腊三大悲剧作家之一）被人们遗忘了，阿基米德仍会被人们记住,因为语言文字会消亡而数学概念却不会。不朽可能是个缺乏理智的用词,但是或许数学家最有机会享用它，无论它意味着什么。
——G.H.哈代（英国数学家）
1、数的传说
结绳记事
数字产生于人类的生产、生活的需要。凡是有人群生活的地方，就必须要计数、要运算、要分配，即使是远古时代亦不会例外。《周易·系辞下》记载上古结绳而治，后世圣人，易之以书契。东汉郑玄称：事大，大结其绳；事小，小结其绳。结之多少，随物众寡。实质上就标志着数的产生。但是远古时代，对数是如何产生的，人们作了许多猜想，并结合祖先改造自然的重大事件或文化上的突出成就编造了许多神奇的故事一只流传至今。
最突出的两个传说是河图洛书与隶首作数。相传，上古伏羲氏时，洛阳东北孟津县境内的黄河中浮出龙马，背负"河图"，献给伏羲，这是一幅数字、星座的排列图，伏羲依此而演成八卦，编了《周易》。又相传，大禹治水有功，在洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮"洛书"献给大禹，大禹据此编成《洪范九畴》。《易·系辞上》说:"河出图，洛出书，圣人则之"，就是指这两件事。
河图洛书
河图、洛书的数学价值很高，根据河图画出的八卦实际上就是最早的二进制。18世纪德国的莱布尼兹创立二进制时，就是受到八卦的启发（这个结论尚有争议）。洛书，列成数表就是一张纵横图，是现在组合数学中最古老的案列，是训练思维的数学幻方，如今在程序设计、图论等方面都有广泛的应用。
到了黄帝时代，又有了进一步的概括和发展，黄帝命他的史官隶首作数，这样，数就产生了。
2、自然数及其历史
数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大不相同。古代巴比伦人的数字用点来表示，五个点表示5，八个点表示8，九个点表示9，点太多，数不清时，发明了专用的计数符号，<表示10，T表示360等等；在中国，一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万这13个数字在甲骨文中就已经出现。古罗马的数字相当进步。罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照一定的规律组合起来，就能表示任何数。
2.10的出现
最初，阿拉伯数字中没有0，经过1000多年后才产生了0。没有0这个数字时，为了表示某一位上一个计数单位也没有，就不写或空写。后来，印度人在数字中间加上小点.表示空位，又过了很长时间，小点便改成0。我国古代用算筹记数，也采取空位表示零。古书中缺字常用□表示，数字里的空位也用□表示，以后由于书写时常用行书，□也就容易写成圆圈了，用○表示零。
从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。 目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了国际交流的方便，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100~3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，我们的教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 但是，在小学阶段的整除部分，仍然不考虑自然数0，因而在约数、倍数等概念中都不包括0。
另外，一般情况下我们不说数0是几位数，所以最小的一位数是1。
0的意义是什么呢？
在自然数范围内，0通常表示没有，起占位作用。
但在有理数以及实数范围内，0表示正数与负数的分界点，此时0不再表示没有，而根据具体情境表示特定的意义，
比如：摄氏0度，这里的0不是表示没有，而是表示一个特定的温度（结冰的临界点）
《数学之谜》一书中说：
还有很多案列都可以说明0在生活中有很多含义，不仅仅表示算术中的没有。，0在数学上是一个很重要的数字，0到1的飞跃体现了从无到有的过程，其实0也是充满了矛盾，比如任意多个数与0相加，0并不改变它们的值；而许多个数相乘，只要其中有一个数是0，乘积就是0，看0的威力多大啊，我们必须知道数学上的概念是相对的，不是不变的。0也是如此。
2.2 G.皮亚诺序数理论
19世纪，皮亚诺提出了五条算术公理，才从理论上彻底解决了什么是自然数，他的三个概念与五个公理是：
0，后继和自然数，以及如下五个公理：
公理1 0是自然数。
公理2 任何自然数的后继是自然数。
公理3 0不是任何自然数的后继。
公理4 不同的自然数后继不同。
公理5 对于某一性质，若0有此性质，而且若某自然数有此性质时，它的后继也有此性质，则一切自然数都有此性质。
具体地说，0的后继中国人叫1，美国人叫one,1的后继中国人叫2，美国人叫two,等等。第五公理谈的是数学归纳法。一个自然生出其后继的过程是加法，记成0+1=1,1+1=2,2+1=3,3+1=4，n+1=(n+1),等等。
3、负数及其历史
负数也是在生产实践中产生的。人们在生活中经常会遇到各种相反意义的量。比如，在记帐时有余有亏；在计算粮仓存米时，有时要记进粮食，有时要记出粮食。为了方便，人们就考虑了相反意义的数来表示。于是人们引入了正负数这个概念，把余钱进粮食记为正，把亏钱、出粮食记为负。我国三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献。刘徽首先给出了正负数的定义，他说：今两算得失相反，要令正负以名之。意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们。
我国古代著名的数学专著《九章算术》（成书于公元一世纪）中，最早提出了正负数加减法的法则：正负数曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。这里的名就是号，除就是减，相益、相除就是两数的绝对值相加、相减，无就是零。用现在的话说就是：正负数的加减法则是：同符号两数相减，等于其绝对值相减，异号两数相减，等于其绝对值相加。零减正数得负数，零减负数得正数。异号两数相加，等于其绝对值相减，同号两数相加，等于其绝对值相加。零加正数等于正数，零加负数等于负数。
这段关于正负数的运算法则的叙述是完全正确的，与现在的法则完全一致！
西方首先使用负数者应是古希腊的丢番图 (Diophantus，约246-330) , 尽管他不承认方程的负根,但已认识到减数乘减数得加数, 加数乘减数得减数。 若在解方程中出现负根，他就放弃此根。
至14世纪，丘凯(N.Chuquet，1445-1500)和斯蒂弗尔(M. Stifel，1487-1567)都称负数为荒谬之数。卡尔达诺(G..Cardano，1501-1576)在其《大术》中承认了负根, 但却认为负数是假数。直到1572年，邦贝利(R.Bombelli，1526-1572)在其《代数学》中才给出了负数的明确定义。然而在17世纪以前, 西方有不少数学家不承认负数，如韦达(F.Viète，1540－1603),在解方程时极力回避负数, 并把负根统统舍去。由于把零看作无 , 因而难以理解比无 还要少。如帕斯卡（B.Pascal ，1623-1662）认为，从0减去4是纯粹胡说。而阿润德则举例强烈反对负数，若(-1):1=1:(-1)，则有较小数与较大数之比等于较大数与较小数之比，岂不荒谬！
直到1629年，荷兰数学家吉拉德(A.Girard，1593-1632)才使用负数解决几何问题，并在其《代数新发现》中用-表示负数和减法运算。吉拉德的符号得到公认，一直沿用至今。
4、分数及历史
随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。一旦要知道一块地的面积，一段绳子的长度，一块肉或一袋面粉的重量，自然数就不够用了。也就是说，人们在生产和生活中开始使用尺子、量器和称的时候，分数就应运而生了。
中国古代的数学著作《九章算术》里最早论述了分数运算的系统方法。这在印度出现于7世纪，比我国晚400多年。欧洲更要推迟1400多年。
对分数达到崇拜高度是毕达哥拉斯学派， 这是一个创建于公元前4世纪的古希腊学派，全名是毕达哥拉斯兄弟会，像不像个黑社会的名字。这是一个宗教性的社会团体，学派的每个成员（大约600人左右）被迫宣誓永不向外界泄露他们的任何数学发现。曾经有一位成员因为背弃誓言而被淹死——他公开宣布发现了一种由12个正五边形构成的新的规则立体：正十二面体。
正十二面体
他们崇拜的偶像之一就是数，他们相信，同了解数与数之间的关系，他们能够揭示宇宙的神圣的秘密，使他们更接近神，所以他们认为万物皆数。特别是，他们将注意力集中于计数数（1,2,3,4-----）和分数的研究。计数数也叫整数，他们与分数（整数之间的比）一起称为有理数。
有理数这一名称不免叫人费解，而有理数并不比别的数更有道理。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是理性的。中国在近代翻译西方科学著作时，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了有理数。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很明显，就是整数的比。与之相对，无理数就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。
5、毕达哥拉斯学派的三大贡献
5.1毕达哥拉斯定理
在中国叫勾股定理，又叫商高定理。
关于勾股定理的发现，《蒋铭祖算经》上说："故禹之所以治天下者，此数之所由生也；""此数"指的是"勾三股四弦五"。这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。
另据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。这也是关于勾三股四弦五的最早描述。
在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系：以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得斜至日。
在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做百牛定理．
据说勾股定理的证明方法有500多种，其中以图形法最著名。
勾股定理的证明
5.2数论上的贡献
他们对整数进行了分类。如整数中包含有奇数、偶数、质数、亲和数及完全数等等。
5.2.1质数无数个的证明
证明：（反证法）
假设素数只有有限的n个，最大的一个素数是p
设q为所有素数之积加上1，那么，q = ( 2 * 3 * 5 * …… * p )+ 1不是素数
那么，q可以被2、3、……、p中的数整除
而q被这2、3、……、p中任意一个整除都会余1，
(1)如果N 是素数，那么与P是最大素数矛盾
(2)如果N 是合数，那么N必然存在至少一个大于P的素数约数，与假设矛盾
所以，素数是无限的
5.2.2亲和数
据说，毕达哥拉斯(Pythagoras, 希腊文Πυθαγόρας，约前580年-前500年)的一个门徒向他提出这样一个问题:"我结交朋友时，存在着数的作用吗?"毕达哥拉斯毫不犹豫地回答:"朋友是你的灵魂的倩影，要像220和284一样亲密。"又说"什么叫朋友?就像这两个数，一个是你，另一个是我。"后来，毕氏学派宣传说:人之间讲友谊，数之间也有"相亲相爱"。从此，把220和284叫做"亲和数"或者叫"朋友数"或叫"相亲数"。这就是关于"亲和数"这个名称来源的传说。220和284是人类最早发现，又是最小的一对亲和数。
亲和数的数目有很多，想了解更多可以参看相关的书籍。
5.2.3完全数
毕达哥拉斯曾说:"6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。"有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，因为上帝创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数。圣·奥古斯丁说:"6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天;事实上，因为这个数是一个完全数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了"。
在追求完全数的道路上也出现了令人惋惜的事情，1936年美国联合通讯社播发了一条令外行人瞠目结舌的新闻，《纽约先驱论坛报》报道说：S.I.克利格博士发现了一个155位的完全数2256（2257-1）.这位博士说，为了证明它确实为完全数，足足奋斗了5年的时间。这位博士也真够孤陋寡闻和盲目行事的了。实际上在2000年前，欧几里得就告诉过大家2n-1(2n-1)是完全数，其中n是正整数，后经欧拉严格证明，这是个正确的结论。
数学家应当当心，自己发现的可能是一块旧大陆，并非什么新成就。
经过不少数学家研究，到2013年2月6日为止，一共找到了48个完全数。
5.3撰造了哲学家这个词
思想
毕达哥拉斯这样介绍自己：生活好比这些公开的竞技会，在这里聚集的一大群人中，有些人受奖励的诱惑而来，另一些人则因对名誉和荣耀的企求和受野心的驱使而来，但他们中间也有少数人来这里是为了观看和理解这里发生的一切。
生活同样如此。有些人因爱好财富而被左右，另一些人因热衷于权力和支配而盲从，但是最优秀的一类人则献身于发现生活本身的意义和目的。他设法揭示自然的奥秘。这就是我称之为哲学家的人。虽然没有一个人在各方面都是很有智慧的，但是他能热爱知识，视其为揭开自然界奥秘的钥匙。
当然毕达哥拉斯学派贡献还有很多，天文和音乐上的贡献也很大，这里不再多述。
注：本文讲到有理数，无理数与虚数有待后续。
网站声明：文章内容来源于网络，本站不拥有所有权，请认真核实，谨慎使用，本站不承担相关法律责任。