什么是数轴(科普什么是数轴)

圈圈笔记 52

作者:Natalie Wolchover 2021-7-15 译者:zzllrr小乐 2021-7-16

2018 年 10 月,大卫·阿斯佩罗 (David Asperó) 在意大利度假,当他的女朋友开车和他一起去往含早餐旅馆时,他凝视着车窗外,突然灵感乍现:这是如今关于无穷大的具有里程碑意义的新证明缺失的步骤。这是闪电般的体验,他说。

英国东安格利亚大学的数学家阿斯佩罗联系了他长期寻求证明的合作者德国明斯特大学的拉尔夫·辛德勒(Ralf Schindler),并描述了他的见解。我完全无法理解,辛德勒说。但最终,两人将幻想变成了坚实的逻辑。

他们的证明于 5 月发表在《数学年鉴》中,结合了两个相互竞争的公理,这些公理已被认为是无限数学的竞争性基础。Asperó 和辛德勒表明,这些公理中的一个暗示了另一个,从而提高了这两个公理——以及它们与无穷大有关的所有公理——都是真的的可能性。

这是一个了不起的结果,耶路撒冷希伯来大学领先的数理逻辑学家梅纳赫姆·马吉多尔 (Menachem Magidor) 说。说实话,我是想自己搞定的。

最重要的是,该结果加强了反对连续统假设(continuum hypothesis,CH)的情况,这是 1878 年关于无穷大层级的一个极具影响力的猜想。在新证明中收敛的两个公理表明连续统假设是错误的,并且在 143 年前被假设为第一个和第二个无穷大的数字之间存在一个额外的无穷大。

多伦多约克大学数学家伊利亚斯·法拉(Ilijas Farah)说:我们现在有了连续统假设的连贯替代方案。

该结果是那些从骨子里就觉得连续统假设是错误的数学家们阵营的胜利。赫尔辛基大学数学逻辑学家和哲学家朱丽叶特肯尼迪(Juliette Kennedy)说:这一结果极大地阐明了这一情况。

但另一个阵营支持无限数学的不同观点,其中连续统假设成立,而这两者的战斗远未获胜。

这是一个了不起的时刻,肯尼迪说。我们现在所处的位置,是数学史上发生过的最令人兴奋、绝对戏剧性的事情之一。

无穷的无穷性

是的,无穷大有多种大小。1873 年,德国数学家格奥尔格·康托尔 (Georg Cantor) 发现填满数轴的实数——大多数带有永无止境的数字,如 3.14159……——的数量超过了自然数,如 1、2 和 3 ,即使两者都有无穷多。

无限数集会干扰我们对大小的直觉,因此作为热身,将自然数集 {1, 2, 3, ...} 与奇数集 {1, 3, 5, ...} 进行比较。你可能认为第一组更大,因为它的元素只有一半出现在第二组中。不过,康托尔意识到,这两个集合的元素可以一一对应。你可以配对每个集合的第一个元素(1 和 1),然后配对它们的第二个元素(2 和 3),然后配对它们的第三个元素(3 和 5),以此类推,涵盖两个集合的所有元素。从这个意义上说,两个无限集具有相同的大小,或者康托尔所说的基数。他用基数0(aleph-零)指定了它们的大小。

但是康托尔发现自然数不能与实数的连续统一一对应。例如,尝试将 1 与 1.00000...配对,将 2 与 1.00001...配对,你将跳过无限多个实数(例如 1.000000001...)。你不可能把它们都计算在内;它们(实数)的基数大于自然数的基数。

无穷大的大小并不止于此。康托尔发现任何无限集合的幂集——其元素的所有子集的集合——具有比它更大的基数。每个幂集本身都有一个幂集,因此基数构成了一个无限高的无穷大塔。

站在这座令人生畏的建筑脚下,康托尔专注于前几层。他设法证明了由所有不同的自然数排序方式(例如,从最小到最大,或所有奇数在前)形成的集合具有基数1,比自然数集合更高一层。此外,这些有序类型中的每一种都编码一个实数。

他的连续统假设断言这正是连续统的大小——恰好存在1个实数。换句话说,连续统的基数紧跟在0(自然数的基数)之后,两者中间没有其它无穷大。

德国数学家格奥尔格·康托尔 (Georg Cantor) 在这幅 1870 年肖像之后的十年中,发展了集合论并发现了无限集合的无限层次结构。

但令康托尔极度痛苦的是,他无法证明这一点。

1900 年,数学家大卫·希尔伯特 (David Hilbert) 将连续统假设放在了他著名的 20 世纪要解决的 23 个数学问题列表中。希尔伯特被新生的无限数学所迷住——他称之为康托尔的天堂——而连续统假设似乎是最容易实现的成果。

相反,上个世纪令人震惊的启示将康托尔的问题变成了一个深刻的认识论难题。

麻烦出现在 1931 年,当时出生于奥地利的逻辑学家库尔特·哥德尔(Kurt Gödel)发现,你可能认作数学基础的任何一组公理都不可避免地是不完全的。总会有一些基本规则无法解决的问题,即无法证明正确的数学事实。

正如哥德尔立刻怀疑的那样,连续统假设就是这样一个案列:一个独立于数学标准公理的问题。

这些公理总共有 10 个,被称为 ZFC(意为带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔公理,Zermelo-Fraenkel axioms with the axiom of choice),它们支撑着几乎所有的现代数学。这些公理描述了集合的基本属性。由于几乎所有数学都可以从集合中构建(例如,空集合 {} 表示 0;{{}} 表示 1;{{}, {{}}} 表示 2,等等),因此集合的规则足以在整个数学中构建证明。

1940 年,哥德尔证明不能使用 ZFC 公理来反驳(证否)连续统假设。然后在 1963 年,美国数学家保罗·科恩(Paul Cohen)给出了相反的结论——也不能用它们来得到肯定证明。科恩和哥德尔的证明意味着连续统假设独立于 ZFC 公理;即ZFC公理可以与其中一种结论(连续统假设是否成立)并存,而无矛盾。

康托尔在 1877 年 7 月 11 日的这份手稿中首次提出了连续统假设。该论文于次年发表。

除了连续统假设之外,关于无限集的大多数其他问题也被证明与 ZFC 无关。这种独立性有时被解释为这些问题没有答案,但大多数集合论者认为这是一种深刻的误解。

他们相信连续统有一个精确的大小;我们只需要新的逻辑工具来弄清楚那是什么。这些工具将以新公理的形式出现。公理不能解决这些问题,马吉多尔(Magidor)说,我们必须将它们扩展到更丰富的公理系统。它是 ZFC 作为获得数学真理的一种手段,而不是真理本身。

自科恩以来,集合论者一直试图通过向 ZFC 添加至少一个新公理来巩固无限数学的基础。这个公理应该阐明无限集的结构,产生自然而美丽的定理,避免致命的矛盾,当然,解决康托尔的问题。

就哥德尔而言,他认为连续统假设是错误的——实数比康托猜测的要多。他怀疑有2个。正如他在 1947 年所写的那样,他预测,连续统问题在集合论中的作用将是这样,它将最终导致新公理的发现,这将使反驳康托尔的猜想成为可能。

光源

出现了两个对立的公理来做到这一点。几十年来,他们被怀疑在逻辑上不相容。总是有这种紧张,辛德勒说。

要理解它们,我们必须回到保罗·科恩 1963 年的工作,他在那里开发了一种称为力迫(Forcing)的技术。从包含1实数的数学宇宙模型开始,科恩使用力迫法扩大连续统以包括模型之外的新实数。科恩和他的同时代人很快发现,根据处理的具体情况,力迫法可以让你添加任意数量的实数——比如说2或35。除了新的实数之外,数学家还推广了科恩的方法,以想象出各种其他可能的对象,其中一些在逻辑上彼此不相容。这创造了一个可能的数学宇宙的多元宇宙。

他的方法在我们的集合世界中造成了歧义,哈佛大学的集合论学家 Hugh Woodin(休·伍丁)说。它创造了这个虚拟宇宙的云,我怎么知道我处在其中哪一个?

什么是虚拟的,什么是真实的?通过不同的力迫程序构想出的两个相互冲突的对象中的哪一个应该被允许?不清楚一个对象何时甚至是否真的存在,仅仅因为它可以用科恩的方法设想。

为了解决这个问题,数学家提出了各种力迫公理——建立特定对象实际存在的规则,这些规则通过科恩的方法成为可能。如果你能想象一个物体存在,那么它确实存在;这是导致力迫公理的指导性直觉原则, Magidor 解释说。1988 年,Magidor、Matthew Foreman 和 Saharon Shelah,将这种精神推向了合乎逻辑的结论,提出了马丁最大值(Martin’s maximum),即任何你能想到的使用任何力迫程序的东西都将是一个真正的数学实体,只要该程序满足一定的一致性条件。

对于马丁最大值的所有扩展性,为了同时允许所有这些力迫结果(同时满足该恒定条件),连续统的大小仅跳跃到保守的2——一个超过最小可能值的基数。

除了解决连续统问题,马丁最大值已被证明是探索无限集性质的有力工具。支持者说它促进了许多广泛的陈述和一般定理。相比之下,假设连续统具有基数1往往会产生更多的例外情况和证明的障碍——用 Magidor 的话来说,反例的天堂。

作为 ZFC 的扩展,马丁最大值变得非常流行。但是在 1990 年代,伍丁提出了另一个令人信服的公理,该公理也否定了连续统假设并将连续统固定在2上,但采用了一条完全不同的路线。伍丁将公理命名为 (*),读作星,因为它就像一个明亮的来源——结构的来源,光的来源,他告诉我。

(*) 涉及满足九个 ZF 公理加上决定性公理的集合模型域,而不是选择公理。决定性和选择在逻辑上相互矛盾,这就是为什么 (*) 和 马丁最大值似乎不可调和。但是伍丁设计了一个力迫程序,通过该程序将他的模型数学宇宙扩展到一个与 ZFC 一致的更大的宇宙,并且在这个宇宙中(*)公理成立。

使 (*) 如此具有启发性的原因在于,它让数学家在提及域内集合的属性时可以做出对于所有 X,存在 Y,使得 Z形式的陈述。这样的陈述是强大的数学推理模式。一个这样的陈述是:对于所有1实数集合,存在不在这些集合中的实数。这是对连续统假设的否定。因此,根据(*),康托尔的猜想是错误的。辛德勒说,(*) 让数学家得出结论并断言实数集的许多其他属性,这一事实使它成为一个有吸引力的假设。

有两个高产出的公理四处飘荡,力迫支持者面临着令人不安的冗余。力迫公理 [马丁最大值] 和 (*) 公理都很漂亮,令人感觉正确和自然,辛德勒说,你选择哪一个?

如果公理相互矛盾,那么采用其中一个就意味着牺牲对方的好结果,而所做的判断可能会让人觉得随意。你必须想出一些理由来解释为什么其中一个是真的,另一个是假的——或者两者都应该是假的,辛德勒说。

相反,他与 Asperó 的新工作表明马丁最大值++(马丁最大值的技术变体)蕴含 (*)。如果你像我们一样统一这些理论,辛德勒说,我会说你可以把它当作一个案例来支持:也许人们做对了。

缺失的链条

20 年前,Asperó和辛德勒是维也纳一家研究所的年轻研究人员。几年后,当辛德勒阅读了由集合论学家罗纳德·詹森 (Ronald Jensen) 像往常一样书写的手稿时,他们的证明萌芽了。在其中,詹森发明了一种称为 L 力迫( L-forcing)的技术。辛德勒对它印象深刻,并要求他的一个学生尝试进一步发展它。五年后,也就是 2011 年,他向在明斯特拜访他的 Asperó 描述了 L力迫。Asperó 立即建议他们可以使用该技术从 马丁最大值++中推导出 (*)。

第二年,也就是 2012 年,他们宣布他们有了证明。伍丁立即发现了一个错误,他们羞愧地撤回了论文。在随后的几年里,他们经常重新审视证明,但他们总是发现在从 马丁最大值++到 (*) 的逻辑链中,他们缺乏一个关键的想法——一个缺失的链条,Asperó 说。

集合论学家拉尔夫·辛德勒(Ralf Schindler,左)和大卫·阿斯佩罗(David Asperó,右)是联合无限数学的对立公理的新证明的作者,照片摄于 2001 年。

他们从前者推导出后一个公理的进攻计划是开发一个类似于 L力迫 的程序,用它来生成一种称为证人(witness)的对象。该证人验证所有 (*) 形式的陈述。只要力迫程序遵守必要的一致性条件,马丁最大值++就会确定证人存在,因为它可以被强制存在。从而可得到(*) 。

我们知道如何建立这样的力迫,Asperó 说,但他们不知道如何保证他们的力迫程序能够满足马丁最大值的关键要求。Asperó 2018 年在车上的闪电体验终于指明了方向:他们可以将力迫分解为力迫的递归序列,每个都满足必要条件。我记得我非常有信心,这种要素实际上可以使证明有效,他说,尽管需要 Asperó 和辛德勒进一步的洞察力来解决这个问题。

其他星星

马丁最大值++和 (*) 的收敛为无穷大塔奠定了坚实的基础,其中连续统的基数为2。问题是,这是真的吗?哈佛大学的集合论学家彼得·科尔纳 (Peter Koellner) 问道。

根据 Koellner 的说法,知道最强的力迫公理意味着 (*) 可以算作支持或反对它的证据。这真的取决于你对 (*) 的看法,他说。

收敛结果将重点审查 (*) 的合理性,因为 (*) 允许数学家做出强有力的对于所有 X,存在 Y的陈述,这些陈述对实数的属性有影响。

尽管 (*) 在允许这些陈述方面非常有用,看似没有矛盾,但 Koellner 是怀疑公理的人之一。它的一个含义——用一个小得多的集合反映了某个大类集合的结构——让他觉得很奇怪。

值得注意的是,可能最热衷于 (*) 正确性的人也反对它。我被认为是叛徒,伍丁在今年夏天的一次 Zoom 谈话中说道。

二十五年前,当他提出 (*) 时,伍丁认为连续统假设是错误的,因此 (*) 是光源。但大约十年前,他改变了主意。他现在认为连续统具有基数1并且 (*) 和力迫是注定失败的。

伍丁称 Asperó 和辛德勒的证明是一个了不起的结果,应该出现在 Annals——《数学年鉴》被广泛认为是顶级数学期刊——他承认这种收敛结果通常被当作某种真理的证据。但他不买。这是 Koellner 提到的问题,以及他在 2019 年阅读 Asperó 和 辛德勒论文的预印本后不久在自己的灵光一现的经历中发现的另一个更大的问题。这是故事的一个意外转折,伍丁说。

当他提出 (*) 时,伍丁还提出了称为 (*)+ 和 (*)++ 的更强变体,它们适用于实数的全幂集(所有子集的集合)。众所周知,在数学世界的各种模型中,如果不是一般性的话,(*)+ 与马丁最大值相矛盾。在他于 5 月开始与数学家分享的新证明中,伍丁表明 (*)+ 和 (*)++ 是等价的,这意味着 (*)++ 在各种模型中也与 马丁最大值相矛盾。

(*)+ 和 (*)++ 远胜于 (*),原因有一个:它们允许数学家做出存在一组实数……形式的陈述,从而描述和分析任何和所有的实数集合的属性。(*) 没有提供这种实数集的存在论。并且因为马丁最大值似乎与 (*)+ 和 (*)++ 相矛盾,所以在马丁最大值框架中,关于实数集的存在陈述似乎是不可能的。对于伍丁来说,这是一个交易破坏者:这就是说,它注定要失败。

其他主要玩家都还在消化伍丁的证明。但也有人强调,他的论点是推测性的。甚至伍丁也承认,一个令人惊讶的发现可能会改变图景(和他的观点),就像以前发生的那样。

社区中的许多人都在等待伍丁试图证明终极 L猜想的结果:即哥德尔模型集合宇宙的全面概括的存在性。如果终极 L 存在——伍丁有充分的理由认为它确实存在,而且他现在正在尝试 400 页的证明——他会认为很明显,添加到 ZFC 的梦想公理一定是终极 L 公理,或者一个陈述:终极 L 是集合的宇宙。在终极 L 中,康托尔是对的:连续统具有基数1。如果证明成立,最终的 L 公理即使不是 ZFC 的明显扩展选择,也至少是马丁最大值的强大竞争对手。

自从哥德尔和科恩从 ZFC 建立连续统假设的独立性以来,无限数学一直是一个选择你自己的冒险的故事,在这个故事中,集合论者可以将实数的数量推到任何水平——35或1000说 - 并探索后果。但是随着 Asperó 和辛德勒的结果令人信服地指向2,并且伍丁为1建立了理由,一个明确的二分法已经确立,一个绝对赢家似乎是新的可能。大多数集合论学家只想退出数学多元宇宙,并在一张康托尔天堂的单一画面后面合并,一幅美丽到可以称之为真实的画面。

一方面,肯尼迪认为我们可能很快就会回到那个堕落前世界。希尔伯特在发表演讲时说,人类尊严取决于我们是否能够以是或否的方式在数学中做出决定,他说。这是一个救赎人类的问题,数学是否是我们一直认为的那样:建立真理。不只是这个真理,那个真理。不仅仅是可能性。不。连续统就是这个大小,周期。

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