九上:三角函数sin18的求法
人可快乐数学2020-12-28
三角函数sin18的求法
原题再现
已知:RT△ABC中 ,∠C=90^o,∠BAC=18^o,求sin18^o.
考察知识
构建法+相似三角形:构建底角为72度的黄金等腰三角形,再利用相似三角形的比例线段求解.
解题思路
构建:作△ACD使它与△ACB关于AC对称,作DE平分∠ADB,交AB于E点.
设BD=x,BE=y
sin18^o=BC/AB=(1/2)x/(x+y)
=(1/2)/(1+x/y)
下面利用相似三角形和一元二次方程求解:
∵△BDE∽△DAB
∴BD/DA=BE/BD
∴x/(x+y)=y/x
∴y^2+xy-x^2=0
∴(y/x)^2+y/x-1=0
设:y/x=t
∴t^2+t-1=0
解得:t=y/x=(-1±√5)/2
代入:sin18^o=(1/2)/(1+x/y)
sin18^o==√5-1/4
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