杨辉三角的规律公式

杨辉（约十三世纪中）三角,也叫贾宪（1050左右）三角,在西方一般被称为帕斯卡（Pascal,1623—1662）三角,和我们现在的学习联系最紧密的是二项式展开式的系数规律.在杨辉三角中,第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式依次下去.

杨辉三角形

杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的,而其余的数则是等于它肩上的两个数之和.

杨辉是宋代著名数学家，他在总结民间乘除捷算法、垛积术、纵横图以及数学教育方面，均做出了重大的贡献。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。还曾论证过弧矢公式，时人称为辉术。 与秦九韶、李冶、朱世杰并称宋元数学四大家。主要著有数学著作5种21卷，即《详解九章算法》12卷（1261年），《日用算法》2卷（1262），《乘除通变本末》3卷（1274），《田亩比类乘除捷法》2卷（1275）和《续古摘奇算法》2卷（1275）（其中《详解》和《日用算法》已非完书）。后三种合称为《杨辉算法》。朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。

杨辉三角有许多有趣的性质.莱布尼茨（Leibniz,1646--1716）,德国数学家、哲学家、自然科学家,他就是类比杨辉三角（他们称为帕斯卡三角,比贾宪、杨辉晚了几百年）发现了上面题中的单位分数三角形,其特点是单位分数是分子为1,分母为正整数的分数.为他建立微积分提供了思路与启发.莱布尼茨在致友人的信中说：这使他发现,求切线不过是求差,求积不过是求和 .

杨辉三角的性质：

1. 每个数等于它上方两数之和。

2. 每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。

3. 第n行的数字有n项。

4. 前n行共[(1+n)n]/2 个数。

5. 第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。

6. 第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。

7. 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。

8. (a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。

9. 将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。

10. 将第n行的数字分别乘以10^（m-1），其中m为该数所在的列，再将各项相加的和为11^（n-1）。11^0=1，11^1=1x10^0+1×10^1=11，11^2=1×10^0+2x10^1+1x10^2=121，11^3=1x10^0+3×10^1+3x10^2+1x10^3=1331，11^4=1x10^0+4x10^1+6x10^2+4x10^3+1x10^4=14641，11^5=1x10^0+5x10^1+10x10^2+10x10^3+5x10^4+1×10^5=161051。

11. 第n行数字的和为2^（n-1）。1=2^（1-1），1+1=2^（2-1），1+2+1=2^（3-1），1+3+3+1=2^（4-1），1+4+6+4+1=2^（5-1），1+5+10+10+5+1=2^（6-1）。

12. 斜线上数字的和等于其向左（从左上方到右下方的斜线）或向右拐弯（从右上方到左下方的斜线），拐角上的数字。1+1=2，1+1+1=3，1+1+1+1=4，1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，1+3=4，1+3+6=10，1+4=5。

13. 将各行数字左对齐，其右上到左下对角线数字的和等于斐波那契数列的数字。1，1，1+1=2，2+1=3，1+3+1=5，3+4+1=8，1+6+5+1=13，4+10+6+1=21，1+10+15+7+1=34，5+20+21+8+1=55。

所以高考中，涉及杨辉三角形的考点是非常重要的，也是命题者特别喜欢出题的题目之一。

有兴趣的同学可以做一做，不会的欢迎留言交流.