我们继续聊级数,这次我们的主角是:
我们上次讲到了发散和收敛,那这个级数究竟是发散的还是收敛的呢?
你一看,我的老天,这也太难了吧,我根本看不懂。
莫慌,我们还是用老办法,一步一步来分析:
我们化简一下,可以得到:
我们展开上面那个通式后,发现依然毫无头绪,在这个异常复杂的数学表达式里,它究竟蕴含着怎样的秘密呢?
于是,我们需要理所应当地引入一些数学工具了:
首先,为了简化上面那个级数的研究内容,我们定义出一些新的东西来方便描述它:
An的意思是数列,它把这个复杂的东西包括进去了
我们姑且把这个称为交错因子
这个交错因子有什么用呢?我给大家举个案列:
我们引入收敛域和收敛半径的概念:
什么是收敛域呢?举个案列,你就明白了:
我们代-1到1之间的所有实数用可以使得上式成立,可是你假如超过了上面这个范围就不成立了:
我们就把(-1,1)称为上面这个级数的收敛域
上面的级数只有在这个范围内才是收敛的
那收敛半径R又是什么呢?
关于收敛半径R,大家先简单理解为收敛域的左右端点值(正的那个1)。
怎么求这个收敛半径呢,今天我只请出大数学家达朗贝尔来描述这个问题。
达朗贝尔(1717~1783),法国数学家,哲学家。1717 年11月 17 日生于巴黎,1783年10月29日卒于同地。他是圣让勒隆教堂附近的一个弃婴 ,被一位玻璃匠收养,后来这个教堂的名字就成了他的教名 。达朗贝尔在数学、力学和天文学等许多领域都作出了巨大的贡献。————百度百科
达朗贝尔说道,我有一个定理,能帮你求出收敛半径:
达朗贝尔定理
于是,我们用上这个公式,进行计算:
收敛半径R:
我们现在得到了收敛域(-1/3,1/3), 你说道——这就是收敛域!
然而,莱布尼兹又出来说话了:我们必须考虑临界的端点位置,数学是严谨的,你这个收敛域很可能缺少了东西。
既然如此,我们不得不带进去看一下实际情况。当x=-1/3时:
这个级数是发散的,所以不能取端点。
而
我们莱布尼兹交错级数判别法:
则在这一点是收敛的。
所以,我们得到了真正的收敛域:
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