集合（Set，文中记为S），是德国数学家康托儿提出的，源于古典数学问题研究。集合S中的元素，是平等的，没有结构的。用等价关系R可对集合进行划分。划分后，集合的元素不再平等，集合便具有了结构。离开等价关系来讨论集合的结构，是没有意义的。结构，使集合概念从古典数学范畴，切换到近代数学中。
群是定义在集合上的，并在集合上定义了某种保持性质的运算。集合上能够定义映射，群上当然也可以。在某个映射A的作用下，就有了等价关系，就有了划分集合的陪集。
陪集中有一个很独特……有他爸爸group的基因，就是也保持原来群的运算性质。这个陪集，是子群H。其它陪集，都是这个特殊陪集H的平移运算得到的。所有的陪集，构成所谓的商集合G/H。
群经过这种划分后，不再是一个平淡的、毫无差别的元素的集合了......群G的元素，立刻体现出了丰富的层次。这是具有重大数学意义的分类，也就是说不同的元素，有所区别了，这种区别被等价关系～定义的陪集所刻画了。商集，实现了类似降维的作用。但仅仅降维，是没多大意义的。我们希望降维后的新玩意儿，还带着原来群中我们最感兴趣的东西——运算的性质。这样的降维，既保留了我们感兴趣的东西，又使分析研究变得简单。
很可惜，不是群G所有的商集合，都能保持G的运算。应该注意的是，等价划分只与作用在群G上的映射A有关，能保持这种运算性质的映射，只能是态射！
你可能会说，不对啊！从群中挑出一些元素，构成规范子群/子群，没什么映射啊。Great！你隐含了一个态射/映射。
商集合保持了运算，有了群结构（指商集合继承了G的运算）后，变成商群，构造这个商集合的子群，是规范子群。这可是近世代数的命根子，使商群G/H真正实现了降维的作用。简单粗暴滴从集合S中找出一些元素，维数确实降低了，但找出的元素不具备原来集合的运算性质，降维就毫无意义了。
规范子群H刻画了G的一部分性质。可以说，规范子群的条件更严格，范围上是子群进一步的收缩。从群的中心定义: Z(G) = { a属于G | xa=ax，对任意x属于G } 来看，Z(G)也是规范子群，这里有一隐含的态射。
规范子群H与G上态射A的核是等价的。任何一个正规子群可以看成群到商群自然同态的核。反之，任何一个群同态的核, 都是正规子群。正规子群可以看成从同态核的性质中定义的。当群G可交换时，任何一个子群H，对G内任意的a,陪集aH都满足aH=Ha, 就是正规的。映射（或函数）的核这个概念……在泛函中也极其重要的东西，自然而然出来了。
当群是域上的向量空间V时，元素被赋线性结构（又是结构），正规子群也就被赋予线性结构，变成子空间。通过子空间线性映射f的核Kerf，构造商空间V/Kerf，从商空间V/Kerf到线性映射f的像空间Imf, 就是诱导映射，该诱导映射是同构映射，比同态更严格。
同构的逆映射是存在的，这在解释机器人运动学中有用途。从机器人关节空间到笛卡尔空间的正解、逆解在这个观点下，就很简单了……必可解。剩下的事儿，就是在f对应的自然同态的核的陪集（等价的，只是有些解让关节多浪费能量，有的让关节少浪费能量）中，找到一个适合的运动轨迹，即可。
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