频率和概率

概率：

该划随机事件发生的可能性大小的数量指标是一个客观存在的量。

概率是该划随机事件发生等可能大小的数量指标。

事件A的概率记为P（A）。

频率：

定义：在相同条件下，进行了n次试验，事件A发生了m次，称比值fn（A）=m/n.

频率从一定程度上反映了事件发生等可能的大小。它随着试验的次数、试验者的变化会有所不同。

频率具有稳定性：在一定条件（意义）下，频率稳定于某个常数。

频率的不确定性：不会随试验次数的增大，趋于特定常数。

频率与概率的关系：

频率不是概率，但在某种意义下，频率稳定于概率。

fn（A）=m/n 频率具有事前不可预言性

频率性质：

（1）对任意事件A，有0=

（2）fn（s）=1

古典概率：

定义：设E是一个随机试验，若它满足以下两个条件：

（1）仅有有限多个基本事件

（2）每个基本事件发生的可能性相等。

则称E是古典概型的试验。

定义：设试验E为古典概型试验，Ai，i=1,2，......,n是基本事件，则由

p（A）=A所含的基本事件个数/基本事件总数=A所含样本点的数目/样本空间的样本点总数

所确定的概率为事件A的古典概率。

古典概率的性质与频率的性质相类似

概率的公理化定义：

概率的客观性和唯一性：

人们寻求建立一种数量指标——概率，用来刻画随机事件发生的等可能性大小。

试验条件确定的前提下，随机事件发生的等可能性大小是一个客观存在的量。

概率是随机事件发生等可能性大小的客观度量。

概率应具有客观性和唯一性。

一旦试验条件确定，一个随机事件发生的概率值不能因人因时而异，更不能因计算方法的不同而改变。

概率计算方法分析：

怎样客观度量随机事件发生等可能大小？

1.频率，不确定，不可预言

2.古典概型，局限性，要求随机事件唯一且各个基本事件发生的概率等可能

3.几何测度和几何概率 突破古典概率的局限性 但要求样本点在样本空间的分布具有均匀性，实际试验很难满足，几何概率定义也有明显的局限性。

概率的公理化抽象：

没有严格的概率定义，严重阻碍概率论的进一步发展和应用。

追求概率的严格数学定义，具有客观性和唯一性的同时，还具有普适性及科学性。

可验证以上概率具有定义的共同属性：

（1）对任意事件A，有0=

（2）p（s）=1；

（3）或A1，A2，...，An互不相容，则它们和事件的概率等于各事件概率之和。

定义 设随机试验E的样本空间为S，若对于E的每一事件A都赋予一个实数P（A），其对应规则满足以下三条

（1）非负性 对任意事件A，有0=

（2）规范性 P（S）=1；

（3）可列可加性 对于互不相容的事件列，它们的和事件的概率等于各事件概率之和。

称P（A）为事件A的概率。

概率公理化的科学性：

概率的公理化定义是科学的公理化结构：

（1）无矛盾，即公理化结构中的三个条件不相互矛盾；

（2）完备的，可由结构中三条用逻辑推理出概率的其它性质，该定义具有高度的抽象性和严密的逻辑性。

注：规范性是抽象过程中的人为规定，合乎常识且反映了直观实际背景。

概率的基本性质：

1.不可能事件概率为0，p（∅）=0；

证明：

∵∅=∅∪∅U..,

p（∅）=p（∅∪∅U..）

由可列可加性 =p（∅）+p（∅）+..

∴p（∅）=0

2.有限可加性

3.对任意对立事件A，B有P（A）+P（B）=1

4.单调性，若随机事件A和B满足A⊂B，则，P（A）<=P（B），P（B-A）=P（B）-P（A）

5.概率加法概率，对任意两个随机事件A和B有

P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）

重重之重，可列可加性。